می دانیم كه از یك نقطه خارج از یك خط مستقیم، یك خط و تنها یك خط می توان به موازات آن رسم كرد. ولی آیا می دانید هندسه هایی ابداع شده اند كه در آنها از یك نقطه خارج از یك خط راست هیچ خط و یا بیش از یك خط می توان به موازات خطی معین رسم كرد حالت دوم به هندسه ای منجر می شود كه «هندسه هذلولی» نام دارد و نخستین بار توسط ریاضیدان روس، نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی ابداع شد و به همین دلیل به آن هندسه لوباچفسكی نیز می گویند. آنچه در پی می آید خلاصه ای است از زندگی و فعالیت های لوباچفسكی و بعضی ویژگی های هندسه هذلولی و بیضوی .

اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي

هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت :
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر كشيد .
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.
اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.

اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.

اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.

در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و ... تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثبات خود به كار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.
يانوش بويوئي يكي از رياضيدانان جواني بود كه در اين راه تلاش مي كرد. پدر وي نيز رياضيداني بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود . او طي نامه اي به پسرش نوشت:  
تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است، التماس مي كنم دانش موازيها را رها كني .
ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا كه انديشه ي كاملاً تازه اي را در سر مي پروراند .
اوفرض كرد نقيض اصل توازي اقليدس، حكم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.

بعدها مشخص شد كه لباچفسكي در سال 1829كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئي منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسكي ثبت گرديد.

پیدایش هندسه نااقلیدسی

همه با نام اقلیدس و كتاب جاودانی او اصول المنتس كه بحق جزء تاثیرگذارترین و مهمترین كتاب های تاریخ بشر قلمداد می شود، آشنا هستیم. اقلیدس در این كتاب از تعداد انگشت شماری «اصول موضوع» تعداد نسبتا قابل توجهی «قضیه» نتیجه گیری می كند. كار عظیم اقلیدس این بود كه چند اصل ساده چند حكم كه بی نیاز به توجیه، پذیرفتنی بودند دست چین كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت كه بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی، بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. یك دلیل بر زیبایی «اصول» اقلیدس این است كه این همه را از آن اندك نتیجه گرفته است. در میان پنج اصل موضوع اقلیدس اصل پنجم یا اصل توازی كه در بالا بدان اشاره شد، موجب زحمت فكری بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بی نگرانی پذیرفت، قابل اثبات هم نبود. از همان آغاز كسانی دچار دودلی شدند و وقت بسیاری را برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف كردند. این كوشش ها هرچند به نتیجه قطعی نرسیدند، راه را برای رسیدن به نتیجه مهمتری گشودند. در قرن نوزدهم، سه دانشمند در سه كشور گاوس در آلمان، بولیایی در مجارستان و لوباچفسكی در روسیه تقریبا همزمان به كشف هندسه هایی دست یافتند كه گاوس بر آنها نام هندسه نااقلیدسی نهاد.
شواهدی در دست است مبنی بر اینكه گاوس بیشتر از لوباچفسكی و بولیایی به برخی از اكتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است.
جای شگفتی است كه گاوس با وجود شهرت عظیمش از علنی ساختن كشفیاتش در زمینه هندسه نااقلیدسی عملا بیمناك بوده است. وی در ۱۸۲۹ به دوست دانشمندش، فریدریش سبل می نویسد كه برای منتشر كردن آثار انقلابی اش از «زوزه بوئسیایی ها» اشخاص كندذهن و كم شعور وحشت دارد. او به ه. ك. شوماخر گفته بوده است كه «از كشیده شدن به هر نوع كشمشكی نفرت دارد.»
یانوش بولیایی اكتشافات خود را به صورت یك ضمیمه ۲۶ صفحه ای در كتاب تنتامن

كه توسط پدرش در سال ۱۸۳۱ نوشته شده بود، منتشر كرد. پدر یك نسخه از این كتاب را با شوق فراوان برای دوست آلمانی اش، فریدریش گاوس كه بزرگترین ریاضیدان آن عصر بود فرستاد. فوركوش بولیایی از ۳۵سال جلوتر با گاوس كه هر دو دانشجوی دانشگاه گوتینگن بودند دوستی نزدیك داشت و هنگامی كه به اتریش برگشت این دوستی دیرینه را با مكاتبه حفظ كرد. وقتی كه فوركوش تلاش خود را برای اثبات اصل توازی نزد گاوس فرستاد، گاوس استادانه نقص كار او را یافت و به او گوشزد كرد. یانوش در ۱۳سالگی بر حساب دیفرانسیل و انتگرال مسلط شده بود. پدرش نامه ای به گاوس نوشت و از او تقاضا كرد كه این جوانك اعجوبه را در خانواده خود به عنوان شاگرد ریاضیدان بپذیرد. گاوس هرگز به تقاضای او جواب نداد. ۱۵سال بعد كه فوركوش «تنتامن» را برای گاوس فرستاد، قطعا باید احساس كرده باشد كه پسر عقیده اش را به او قبولانده است و یانوش می بایستی انتظار داشته باشد كه گاوس كار مهم او را به مردم معرفی كند. بنابراین می توان به میزان یاس او پس از خواندن نامه زیر كه گاوس به پدر او نوشته بود، پی برد:
«اگر با این عبارت آغاز كنم كه یارای تمجید از چنین كاری را ندارم، البته برای یك لحظه دچار شگفتی خواهید شد. ولی كاری به جز این نمی توانم بكنم. تمجید از آن به منزله تمجید از خودم است. زیرا كه تمام محتوای كاری كه پسر شما كرده، راهی كه گزیده و نتایجی كه به آنها رسیده، تقریبا به طور تمام و كمال با تحقیقات خود من كه مدت ۳۰ تا ۳۵سال تمام فكر مرا به خود مشغول داشته، یكی است. از این بابت من خود را سخت شگفت زده می یابم. اما درباره كار خودم كه تنها اندكی از آن تاكنون منتشر شده است قصدم این بوده كه اجازه ندهم تا زنده ام كسی از آن باخبر شود. بیشتر مردم بینش لازم برای درك نتایج كارهای ما را ندارند و من تنها به چند تن برخورده ام كه از آنچه كه با آنان در میان گذارده ام، با علاقه استقبال كرده اند. برای فهمیدن این چیزها نخست باید دقیقا و عمیقا دریافت كه مطلوب چیست و چه باید كرد و از این بابت ذهن اكثر افراد كاملا درهم و برهم و مغشوش است. از سوی دیگر نقشه من چنین بود كه سرانجام همه آنها را به روی كاغذ بیاورم تا لااقل موضوع با از میان رفتن من فراموش نشود. لذا باعث كمال خوشوقتی من است كه می بینم دیگر لازم نیست این كار چاپ نوشته هایم را انجام دهم، به خصوص كه این فرد، فرزند دوست دیرین من است كه به چنین شیوه عالی بر من پیشی گرفته است.»
به رغم تمجیدی كه گاوس در آخرین جمله اش از او كرده بود، یانوش از جواب ریاضیدان بزرگ ناامید شد. حتی پنداشت كه پدرش در نهان گاوس را از نتایج كارهای او آگاه می ساخته است و گاوس اكنون سعی دارد آنها را به عنوان كار خویش تصاحب كند. یانوش جوان كه مزاجی آتشین داشت و ۱۳بار پیاپی دوئل كرده و پیروز شده بود و چه اختلاف فاحشی با گالوا دیگر ریاضیدان نامدار كه در ۲۰سالگی در اولین دوئل كشته شد چنان سرخورده شد كه هرگز به فكر انتشار پژوهش هایش نیفتاد.